SUD

JAKÉ ROZMĚRY BUDE MÍT METR VYSOKÝ SUD, ABY MĚL OBJEM 200LITRŮ?KL

ZEPTÁME SE NA TO, GPT5-

S

CC/Pro válcový sud vysoký 1 metr (výška h = 1,00 m) s objemem V = 200 litrů (0,200 m³) platí V = π r² h. Po dosazení:

r² = V / (π h) = 0,200 / (π · 1) = 0,200 / π ≈ 0,063662 m²  
r ≈ √0,063662 ≈ 0,2523 m = 25,23 cm

Průměr d = 2r ≈ 0,5046 m = 50,46 cm

Shrnutí:
- Výška: 1,00 m  
- Poloměr: ≈ 0,252 m (≈ 25,2 cm)  
- Průměr: ≈ 0,505 m (≈ 50,5 cm)/S

JAK DLOUHO BUDE TENTO SUD CHLÁDNOUT, POKUD JE V NĚM VODA O TEPLOTĚ75 STUPNŮ CELSIA, A V OKOLNÍM PROSTŘEDÍ JE25 STUPNŮ CELSINAKZ-CC/Pro odhad doby ochlazení sudu (válce) s vodou z 75 °C na 25 °C potřebujeme zjednodušený přístup — použiji lumped-capacitance model (jednoduchý exponenciální ochlazovací model), předpoklady a konečný numerický odhad.

Předpoklady (rozumné, pokud uživatel nepožadoval přesnost):
- Sud obsahuje 200 l vody (hmotnost m ≈ 200 kg).
- Voda je dobře promíchána (teplota homogenní).
- Výměna tepla je řízena přenosem mezi povrchem sudu a okolím (konvekce), tepelná vodivost stěny sudu zanedbána nebo je tenká tak, že odpor je malý.
- Koeficient přestupu tepla h (konvekce) vzduch–povrch: použiju typickou hodnotu pro volný proud vzduchu h = 10 W/m²K (pokud je vítr, ochlazování bude rychlejší; klidný vzduch 5–10).
- Povrchová plocha válce bez víka: počítám oba konce i bok.
- Hustota vody ρ = 1000 kg/m³, měrná tepelná kapacita c = 4180 J/(kg·K).
- Tepelná vodivost stěny a tepelné kapacity sudu jsou zanedbatelné proti vodě.

Výpočty:
1) Geometrie (z předchozí odpovědi): výška h = 1,00 m, průměr d ≈ 0,5046 m → poloměr r ≈ 0,2523 m.
- Plocha boků A_side = 2π r h = 2π·0,2523·1 = 1,585 m²
- Plocha obou vík A_ends = 2·π r² = 2·π·0,2523² = 0,400 m²
- Celková plocha A ≈ 1,985 m²

2) Termální konstanta (časová konstanta τ):
τ = (m c) / (h A)
m c = 200 kg · 4180 J/(kg·K) = 836 000 J/K
h A = 10 W/m²K · 1,985 m² = 19,85 W/K
τ ≈ 836000 / 19,85 ≈ 42118 s ≈ 11,7 h

3) Exponenciální ochlazení:
T(t) = T_ambient + (T_initial − T_ambient) · exp(−t/τ)
Chceme čas t, kdy T(t) = 25 °C (tedy rovnou okolí). Exponenciálně nikdy dosáhne přesně 25 °C, ale technicky prakticky dojde k dostatečnému přiblížení. Počet časových konstant pro snížení o velkou část:
- Po 1·τ: pokles o 63% rozdílu → T ≈ 25 + 50·e^{-1} ≈ 25 + 18.4 = 43.4 °C
- Po 3·τ: 95% → T ≈ 25 + 50·e^{-3} ≈ 25 + 2.48 = 27.5 °C
- Po 4·τ: 98.2% → T ≈ 25 + 50·e^{-4} ≈ 25 + 0.92 = 25.9 °C

Praktické výsledky:
- Čas do 43 °C: ≈ 11.7 h
- Čas do 27.5 °C (≈ prakticky skoro okolní): ≈ 3·11.7 ≈ 35 h
- Čas do 25.9 °C: ≈ 4·11.7 ≈ 47 h

Krátké shrnutí (s doporučením): 
- Časová konstanta τ ≈ 11,7 hodin (při h = 10 W/m²K).  
- Odhady: 12 h do 43 °C, 35 h do 28 °C, 47 h k dosažení 26 °C.  
- Pokud je větší proudění vzduchu (h vyšší, např. 25 W/m²K), časy budou 2,5× kratší; při klidném vzduchu (h ≈ 5) budou 2× delší.

Chcete přesnější odhad zahrnující tloušťku stěny sudu, materiál a skutečný proud vzduchu?/S